Question

已知函數f（x）=x²-2x+alnx不是單調函數，且無最小值．
（Ⅰ）求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）設x₀是函數f（x）的極值點，證明：-

3+ln4

4

＜f（x₀）＜0．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對f（x）導數，得f′(x)=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

，f（x）=x²-2x+alnx不是單調函數，且無最小值，說明f'（x）=0必有2個不相等的正根，再利用二次函數圖象與性質求解
（Ⅱ）x₀是函數f（x）的極值點，則x₀是f'（x）=0的2個不相等的正根，綜合利用函數與不等式知識解決．

解答：（本小題滿分14分）
解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是{x|x＞0}．…（1分）
對f（x）導數，得f′(x)=2x-2+

a

x

=

2x2-2x+a

x

．…（3分）
顯然，方程f'（x）=0?2x²-2x+a=0（x＞0）．
若f（x）不是單調函數，且無最小值，
則方程2x²-2x+a=0必有2個不相等的正根．…（5分）
所以 

△=4-8a＞0 a 2 ＞0

解得0＜a＜

1

2

．…（6分）
（Ⅱ）設方程2x²-2x+a=0的2個不相等的正根是x₁，x₂，其中x₁＜x₂．
所以f′(x)=

2x2-2x+a

x

=

2(x-x1)(x-x2)

x

，列表分析如下：

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+

所以，x₁是極大值點，x₂是極小值點，f（x₁）＞f（x₂）．
故只需證明-

3+ln4

4

＜f(x2)＜f(x1)＜0．…（8分）
由 0＜x₁＜x₂，且x₁+x₂=1，得 0＜x1＜

1

2

＜x2＜1．…（9分）
因為 0＜a＜

1

2

，0＜x1＜

1

2

，所以 f（x₁）=x₁（x₁-2）+alnx₁＜0．…（10分）
由 2

x

2 2

-2x2+a=0，得 a=-2

x

2 2

+2x2，
所以 f(x2)=

x

2 2

-2x2+(-2

x

2 2

+2x2)lnx2．…（12分）
對x₂求導數，得 f'（x₂）=-2（2x₂-1）lnx₂．
因為 

1

2

＜x2＜1，所以f'（x₂）＞0，
所以 f（x₂）是(

1

2

，1)上的增函數，
故 f(x2)＞f(

1

2

)=-

3+ln4

4

．…（14分）
綜上 -

3+ln4

4

＜f(x0)＜0．

點評：本題考查了對數函數的導數運算、導數在最大值、最小值問題中的應用，解答關鍵是利用導數工具研究函數的最值問題，以及掌握不等式的證明方法