Question

函數y=ln(x+

x2+1

)，（x∈R）的反函數為（　　）

• A．y=

  1

  2

  (ex-e-x)，x∈R
• B．y=

  1

  2

  (ex-e-x)，x∈（0，+∞）
• C．y=

  1

  2

  (ex+e-x)，x∈R
• D．y=

  1

  2

  (ex+e-x)，x∈（0，+∞）

Answer 1

分析：由題意可得：x+

x2+1

=ey，即

x2+1

=ey-x，=再兩邊平方整理可孤立出x，進而求出原函數的反函數得到答案．

解答：解：因為函數y=ln(x+

x2+1

)，
所以x+

x2+1

=ey，即

x2+1

=ey-x，
兩邊平方整理可得：x=

e2y-1

2ey

=

1

2

（e^y-e^-y），
又∵x+

x2+1

＞0，
∴根據對數函數的性質可得：ln（x+

x2+1

）∈R，
∴原函數的值域為R，即反函數的值域為R，
∴反函數為y=

1

2

(ex-e-x)，x∈R，
故選A．

點評：本題主要考查反函數的知識點，求反函數的方法是：根據原函數的解析式利用y表示x，即孤立出x，再以x代替y，以y代替x的位置，即可得到原函數的反函數，原函數的定義域即為反函數的值域，原函數的值域即為反函數的定義域．