Question

已知函數f（x）=log2

1+x

1-x

．
（1）求函數f（x）的定義域；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性，并證明；
（3）判斷函數f（x）在定義域上的單調性，并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）解不等式

1+x

1-x

＞0，可得解集為（-1，1），即為所求函數的定義域．
（2）根據函數的奇偶性的定義，將f（-x）化簡整理，并且與-f（x）加以比較，即可證明出函數f（x）是奇函數．
（3）運用函數單調性的定義，任取x₁，x₂∈（-1，1）且x₁＜x₂，將兩函數值作差，根據對數的運算性質化簡，判斷出差的符號，從而得到f（x₁）＜f（x₂）．因此，函數f（x）在區間（-1，1）上是增函數．

解答：解：（1）∵由

1+x

1-x

＞0，得（1+x）（1-x）＞0，解之得-1＜x＜1，
∴f（x）的定義域是（-1，1）（3分）
（2）由（1）知x∈（-1，1），定義域關于原點對稱
∵f（-x）=log2

1+(-x)

1-(-x)

=log2

1-x

1+x

而-f（x）=-log2

1+x

1-x

=log2(

1+x

1-x

)-1=log2

1-x

1+x

．
∴f（-x）=-f（x），可得函數f（x）是奇函數．（6分）
（3）設-1＜x₁＜x₂＜1，
f（x₂）-f（x₁）=log2

1+x2

1-x2

-log2

1+x1

1-x1

=log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

∵1-x₁＞1-x₂＞0；1+x₂＞1+x₁＞0，
∴

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞1，結合底數2＞1得log2

(1-x1)(1+x2)

(1+x1)(1-x2)

＞0．
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，得f（x₁）＜f（x₂）
因此，函數f（x）=log2

1+x

1-x

在（-1，1）上是增函數．

點評：本題考查了求函數的定義域求法、對數的運算法則、判斷函數的奇偶性、定義法證明函數單調性等知識點，屬于中檔題．解題的關鍵是熟練運用函數的基本性質及其定義，熟練掌握對數的運算法則，以達到靈活運用．