Question

已知定義在R上的單調遞增函數滿足,且。

（Ⅰ）判斷函數的奇偶性并證明之；

（Ⅱ）解關于的不等式：；

（Ⅲ）設集合,.，若集合有且僅有一個元素，求證: 。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數為R上的奇函數,（Ⅱ）,（Ⅲ）見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）抽象函數奇偶性的證明，先令，再令可求得出函數為奇函數, （Ⅱ）由（Ⅰ）知在上為奇函數，則利用單調性及與-1的關系可解得； （Ⅲ）先對進行化簡，再利用兩方程有唯一解求證.

試題解析：（Ⅰ）令,

令,,

函數為R上的奇函數.                        （4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

又函數是單調遞增函數,

故                    （8分）

（Ⅲ）

,又有且僅有一個元素,即方程組有唯一解,

即僅有一個實根, ,即 （13分）

考點：抽象函數求奇偶性,不等關系,交集定義,函數與方程.