Question

已知函數f（x）=ax²+bx+1，a，b為實數，a≠0，x∈R，F（x）=

f(x)，x＞0 -f(x)，x＜0

，
（1）若f（-1）=0，且函數f（x）的值域為[0，+∞），求F（x）的表達式；
（2）在（1）的條件下，當x∈[-1，1]時，g（x）=f（x）+kx是單調函數，求實數k的取值范圍；
（3）設mn＜0，m+n＞0，a＞0，且函數f（x）為偶函數，判斷F（m）+F（n）是否大于0．

Answer 1

分析：（1）把x=-1代入解析式列出一個方程，再由函數的值域和二次函數的性質得△=0得一個方程，聯立方程求解；
（2）由（1）和條件求出g（x）的解析式，再求出對稱軸，根據題意和和二次函數的單調性，列出不等式求解；
（3）由二次函數是偶函數的條件得b=0，代入F（x），再由條件判斷出n＜0＜m，表示出F（m）+F（n）化簡后判斷符號．

解答：解：（1）依題意，有

a-b+1=0 △=b2-4a=0

，
解得

a=1 b=2

，∴f（x）=x²+2x+1，
∴F(x)=

x2+2x+1，(x＞0) -x2-2x-1，(x＜0).

（2）由（1）得g（x）=f（x）+kx=x²+2x+1+kx=x²+（k+2）x+1，
∴函數g（x）的對稱軸x=-

k+2

2

，
∵g（x）在區間[-1，1]上是單調函數，
∴-

k+2

2

≤-1，或-

k+2

2

≥1．
解得    k≥0，或k≤-4．
∴實數k的取值范圍為（-∞，-4]∪[0，+∞），
（3）∵f（x）=ax²+bx+1為偶函數，∴b=0，即f（x）=ax²+1（a＞0），
∴F(x)=

ax2+1，(x＞0) -ax2-1，(x＜0).

∵mn＜0，m+n＞0，a＞0，不妨設n＜0＜m，則有0＜-n＜m，
∴m-n＞0，m+n＞0．
∵F（m）+F（n）=am²+1-an²-1=a（m+n）（m-n），
∴F（m）+F（n）＞0．

點評：本題考查了求二次函數解析式，二次函數的單調性和奇偶性的綜合應用，屬于中檔題．