Question

已知曲線x²+y²-4x-2y-k=0表示的圖象為圓．
（1）若k=15，求過該曲線與直線x-2y+5=0的交點，且面積最小的圓的方程．
（2）若該圓關于直線x+y-4=0的對稱圓與直線6x+8y-59=0相切，求實數k的值．

Answer 1

（1）設所求圓的圓心坐標為A（x₀，y₀）
當k=15時，代入x²+y²-4x-2y-k=0，化簡得（x-2）²+（y-1）²=20，
∴圓心B（2，1），到直線x-2y+5=0的距離為

|2-2+5|

1+4

=

5

，
當相交弦為所求圓的直徑時，圓的面積最小，即圓心A在直線x-2y+5=0上；
則

x°-2y°+5=0 y°-1 x°-2 =-2

，解得

x°=1 y°=3

，r=

(2 5 )2- 5 2

=

15

∴所求圓的方程為：（x-1）²+（y-3）²=15
（2）設圓心B（2，1）關于y=-x+4的對稱圓的圓心為C（x，y），
∴

y+1 2 =- x+2 2 +4 y-1 x-2 =1

，解得x=3，y=2；則 C（3，2）
∵對稱圓C與直線6x+8y-59=0相切，
∴點（3，2）到6x+8y-59=0的距離為

|6×3+8×2-59|

62+82

=

5

2

即r=

5

2

由x²+y²-4x-2y-k=0得

16+4-4(-k) 2

=

5

2

解得，k=

5

4