Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點y在軸上，焦距為2

3

，且過點M(-

13

4

，

3

2

)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點N(

1

2

，1)的直線l交橢圓C于A、B兩點，且N恰好為AB中點，能否在橢圓C上找到點D，使△ABD的面積最大？若能，求出點D的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）法一：利用橢圓的定義和參數a，b，c的關系即可得出；
法二：代入橢圓的標準方程，利用待定系數法即可得出；
（2）法一：利用“點差法”，直線與橢圓相切得到△=0即可得出；
法二：聯立直線與橢圓的方程，利用根與系數的關系即可得出．

解答：解：（1）法一：依題意，設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，則2c=2

3

，c=

3

，
∵橢圓兩個焦點為F1(0，-

3

)，F2(0，

3

)，∴2a=|MF₁|+|MF₂|=

(- 13 4 )2+( 3 2 + 3 )2

+

(- 13 4 )2+( 3 2 - 3 )2

=4，∴a=2．
∴b²=a²-c²=1，∴橢圓C的方程為

y2

4

+x2=1．
法二：依題意，設橢圓方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)，則

2c=2 3 ( 3 2 )2 a2 + (- 13 4 )2 b2 =1

，即

a2-b2 = 3 3 4a2 + 13 16b2 =1

，解之得

a=2 b=1

，
∴橢圓C的方程為

y2

4

+x2=1．
（2）法一：設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則

x1+x2

2

=

1

2

，

y1+y2

2

=1，

y12

4

+x12=1…①

y22

4

+x22=1…②
①-②，得

y12-y22

4

+x12-x22=0，
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

-(x1+x2)

y1+y2 4

=

-1

2 4

=-2，
設與直線AB平行且與橢圓相切的直線方程為l'：2x+y+m=0，
聯立方程組

y2 4 +x2=1 2x+y+m=0

，消去y整理得8x²+4mx+m²-4=0，
由判別式△=16m²-32（m²-4）=0得m=±2

2

，
由圖知，當m=2

2

時，l'與橢圓的切點為D，此時△ABD的面積最大，
∵m=2

2

，∴x_D=-

m

4

=-

2

2

，yD=-

2

．
∴D點的坐標為(-

2

2

，-

2

)．
法二：設直線AB的方程為y-1=k(x-

1

2

)，聯立方程組

y2 4 +x2=1 y-1=k(x- 1 2 )

，
消去y整理得(k2+4)x2-(k2-2k)x+

1

4

k2-k-3=0，
設A、B兩點的坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），則x1+x2=

k2-2k

k2+4

=1，∴k=-2．
∴直線AB的方程為y-1=-2(x-

1

2

)，即2x+y-2=0．
（以下同法一）．

點評：熟練掌握橢圓的定義、標準方程、參數a、b、c的關系、待定系數法、“點差法”、直線與橢圓相切得到△=0、直線與橢圓相交問題聯立方程并利用根與系數的關系是解題的關鍵．