Question

已知拋物線和直線沒有公共點（其中、為常數），動點是直線上的任意一點，過點引拋物線的兩條切線，切點分別為、，且直線恒過點.

   （1）求拋物線的方程；

（2）已知點為原點，連結交拋物線于、兩點，

證明：.

Answer 1

解：（1）如圖，設，

 

        由，得    ∴的斜率為

        的方程為    同理得

        設代入上式得，

即，滿足方程

故的方程為     ………………4分

上式可化為，過交點

∵過交點，  ∴，

∴的方程為                          ………………6分

（2）要證，即證

     設，

     則  ……（1）

    

     ∵，

     ∴直線方程為，

與聯立化簡

     ∴ ……①     ……②                …………10分

     把①②代入（Ⅰ）式中，則分子

    

         …………（2）

     又點在直線上，∴代入Ⅱ中得：                          

     ∴    

故得證                                              ………………14分