Question

已知曲線C：x²+y²+2kx+（4k+10）y+10k+20=0，其中常數(shù)k≠-1；
（1）求證：對(duì)任意的k，曲線C是圓，并且圓心在同一條直線上；
（2）證明：曲線C過(guò)定點(diǎn)；
（3）若曲線C與x軸相切，求k的值．

Answer 1

分析：（1）把曲線方程配方后，根據(jù)常數(shù)k≠-1，得到二元一次方程表示曲線是圓，找出圓心坐標(biāo)，根據(jù)圓心坐標(biāo)的特點(diǎn)確定出圓心所在直線的方程；
（2）把曲線方程整理為k（2x+4y+10）+（x²+y²+10y+20）=0，把k看作未知數(shù)，x與y看作常數(shù)，根據(jù)多項(xiàng)式的值為0，各項(xiàng)的系數(shù)都為0列出關(guān)于x與y的方程組，求出方程組的解集得到x與y的值，進(jìn)而確定出曲線方程恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)，得證；
（3）由圓與x軸相切，得到圓心到x軸的距離等于圓的半徑，即圓心的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值等于圓的半徑，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解，即可得到滿足題意k的值．

解答：解：（1）曲線分成化簡(jiǎn)得：（x+k）²+（y+2k+5）²=5（k+1）²，
∵k≠-1，∴r²=5（k+1）²＞0，故曲線C都是圓，
∴圓心（-k，-2k-5），設(shè)x=-k，y=-2k-5，
∴y=2x-5，
則圓心在同一直線y=2x-5上；
（2）將x²+y²+2kx+（4k+10）y+10k+20=0整理為：
k（2x+4y+10）+（x²+y²+10y+20）=0，
∴

2x+4y+10=0 x2+y2+10y+20=0

，
解得：

x=1 y=-3

，
曲線C過(guò)定點(diǎn)（1，-3）；
（3）∵曲線C與x軸相切，
∴|2k+5|=

5

|k+1|，
解得：k=5±3

5

，
則曲線C與x軸相切時(shí)k=5±3

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：恒過(guò)定點(diǎn)的曲線方程，二元二次方程表示圓的條件，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與圓相切的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的題．