Question

已知拋物線，直線，是拋物線的焦點。

（1）在拋物線上求一點，使點到直線的距離最小；
(2)如圖，過點作直線交拋物線于A、B兩點.
①若直線AB的傾斜角為，求弦AB的長度；
②若直線AO、BO分別交直線于兩點,求的最小值.

Answer 1

（1）；(2)①；②的最小值是.

試題分析：（1）數形結合，找出與與平行的切線的切點即為P.(2)易得直線方程，與拋物線聯立，利用弦長公式，可求AB；②設,可得AO，BO方程，與拋物線聯立
試題解析：
解:(1)設，，
由題可知：
所求的點為：（或者用距離公式或同樣給分）  3分
(2)①易知直線AB：，
聯立：，消去y得，  5分
設，則
(用定義同樣給分)  8分
②設,所以
所以的方程是:,由,
同理由  9分
所以
①  10分
設,由,
且,
代入①得到:
,  12分
設,
,
所以此時的最小值是,此時,;  13分
綜上:的最小值是。  14分