Question

【題目】若數列與函數滿足：①的任意兩項均不相等，且的定義域為；②數列的前的項的和對任意的都成立，則稱與具有“共生關系”．

（1）若，試寫出一個與數列具有“共生關系”的函數的解析式；

（2）若與數列具有“共生關系”，求實數對所構成的集合，并寫出關于，，的表達式；

（3）若，求證：“存在每項都是正數的無窮等差數列，使得與具有‘共生關系’”的充要條件是“點在射線上”．

Answer 1

【答案】（1） （2）實數對所構成的集合為，且，其中，. （3）證明見解析.

【解析】

(1) 由，可知，從而可得.
(2) 由題意得,當，可得，當時，與的任意兩項均不相等相矛盾,故此時不合題意；當，，不合題意，當，也不合題意. 若，則，由，，可得，的任意兩項均不相等，故，可知，得出答案.
(3)先證必要性，若是公差的等差數列，，可得，故解得，再證充分性，若點在射線上，

即，可得，從而得證.

(1)由，可知

所以與數列具有“共生關系”的函數的解析式可以為：.

(2)由題意得，令，可得，即.

①若，此時不成立，不合題意，

若，由，可得，又，可得，與的任意兩項均不相等相矛盾,故此時不合題意.

②若，可得

若，則由與，可得，不合題意.

若，則，當時，，不合題意.

若，則，由，

可得，即

此時數列是首項為，公比為的等比數列，又的任意兩項均不相等，

故，可知

所以實數對所構成的集合為，且，其中

(3)(必要性)若是公差的等差數列，且與具有“共生關系”.

則由，

可得:

故，即恒成立.

故解得

又由,可得,

由,可知

所以點在射線上.

(充分性)若點在射線上，則

又方程等價于，

且，取，它顯然是正數且滿足

令，則

，

故當時，

這里無窮數列是首項為，公差為的無窮等差數列.

其中每一項都是正數，所以存在每一項都是正數的無窮等差數列，使得與具有“共生關系”.