Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正力形，∠PAD=90⁰，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點。

（1）求證：PB∥平面EFG；
（2）求異面直線EG與BD所成的角；

Answer 1

見解析

解法一：（1）證明：取AB中點H，連結(jié)GH，HE，

∵E，F(xiàn)，G分別是線段PA、PD、CD的中點，
∴GH//AD//EF，
∴E，F(xiàn)，G，H四點共面。又H為AB中點，
∴EH//PB。又面EFG，平面EFG，
∴PB//面EFG。                                                 
 6分
（2）解：取BC的中點M，連結(jié)GM、AM、EM，則GM//BD，
∴∠EGM（或其補角）就是異面直線EG與BD所成的角。在Rt△MAE中，，
同理，又，
∴在△MGE中，
故異面直線EG與BD所成的角為。           12分
解法二：建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)－xyz，
則，，，，，，，。（1）證明：∵，，，設(shè)，即
解得。∴，又∵與不共線，∴、與共面。∵平面EFG，∴PB//平面EFG。 6分
（2）解：∵，，∴。
故異面直線EG與BD所成的角為。                 12分