Question

在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P是線段B₁C上的一個動點，下列命題錯誤的是（　　）

• A．直線AD₁與A₁P所成的角的大小不變
• B．點P到平面ABCD的距離與點P到直線C₁D₁的距離相等，這樣的P點恰有2個
• C．直線AP與平面A₁C₁D平行
• D．直線A₁P與底面A₁B₁C₁D₁所成角的最大值為arccos

  6

  3

Answer 1

分析：由AD₁⊥平面A₁B₁CD，得直線AD₁與A₁P所成的角的大小為90°，保持不變．選項A正確；
由平面A₁C₁D∥平面AB₁C，得直線AP與平面A₁C₁D平行．選項C正確；
當點P運動到與點C重合時，直線A₁P與底面A₁B₁C₁D₁所成的角最大，且所成角為∠CAC₁，得∠CAC₁=arccos

6

3

，所以選項D正確．
排除法得出，選項B錯誤．

解答：解：∵AD₁⊥平面A₁B₁CD，且A₁P在平面A₁B₁CD內，
∴AD₁⊥A₁P，即直線AD₁與A₁P所成的角的大小為90°，保持不變．選項A正確；
∵平面A₁C₁D∥平面AB₁C，且直線AP在平面AB₁C內，
所以直線AP與平面A₁C₁D平行．選項C正確；
當點P運動到與點C重合時，直線A₁P與底面A₁B₁C₁D₁所成的角最大，且所成角為∠CAC₁，
則設正方體棱長為a，在Rt△ACC₁中，
A₁C₁=

2

a，A₁C=

3

a，所以cos∠CAC₁=

A1C1

A1C

=

6

3

，
即∠CAC₁=arccos

6

3

，
所以選項D正確．
排除法得出，選項B錯誤．
故選B．

點評：本題考查命題真假的判斷，解題時要認真審題，仔細解答，注意空間幾何體的性質的靈活運用．