Question

已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由；
（Ⅲ）當x∈（0，e]時，證明：e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx．

Answer 1

分析：（I）欲求在點（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．
（II）先假設(shè)存在，然后對函數(shù)g（x）進行求導，再對a的值分情況討論函數(shù)g（x）在（0，e]上的單調(diào)性和最小值取得，可知當a=e²能夠保證當x∈（0，e]時g（x）有最小值3．
（Ⅲ）當x∈（0，e]時，對e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx，兩邊同除以x并整理可得e²x-lnx＞

5

2

+

lnx

x

，問題可轉(zhuǎn)化為證明（e²x-lnx）_min＞(

5

2

+

lnx

x

)max，由（II）可知，（e²x-lnx）_min=3，利用導數(shù)可求得(

5

2

+

lnx

x

)max；

解答：解：（I）a=1時，函數(shù)f（x）=x²+x-lnx，
∴f′（x）=2x+1-

1

x

，則切線斜率k=f′（1）=2，
又f（1）=2，∴切點為（1，2），
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-2=2（x-1），即y=2x．
（II）假設(shè)存在實數(shù)a，使g（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
g′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
①當a≤0時，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

（舍去）；
②當0＜

1

a

＜e時，g（x）在 （0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在 （

1

a

，e]上單調(diào)遞增，
∴g（x）min=g（

1

a

）=1+lna=3，解得a=e²，滿足條件；
③當

1

a

≥e時，g（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，g（x）_min=g（e）=ae-1=3，解得a=

4

e

（舍去）；
綜上，存在實數(shù)a=e²，使得當x∈（0，e]時，g（x）有最小值3．
（Ⅲ）當x∈（0，e]時，對e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx，兩邊同除以x，得e2x-

5

2

＞（1+

1

x

）lnx，
整理得，e²x-lnx＞

5

2

+

lnx

x

，
可證（e²x-lnx）_min＞(

5

2

+

lnx

x

)max，
由（II）可知，（e²x-lnx）_min=3，
令h（x）=

5

2

+

lnx

x

（0＜x≤e]，則h′（x）=

1-lnx

x2

≥0，
∴h（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，
∴h（x）_max=(

5

2

+

lnx

x

)max=

5

2

+

lne

e

=

5

2

+

1

e

＜

5

2

+

1

2

=3，即（e²x-lnx）_min＞(

5

2

+

lnx

x

)max，
∴x∈（0，e]時，e2x2-

5

2

x＞(x+1)lnx．

點評：本題考查導數(shù)的幾何意義、利用導數(shù)求函數(shù)的最值及證明不等式問題，考查轉(zhuǎn)化思想，考查學生分析解決問題的能力，綜合性較強，有一定難度．注意（Ⅲ）問中，（e²x-lnx）_min＞(

5

2

+

lnx

x

)max是所證不等式成立的充分不必要條件．