Question

19．在直角坐標系xoy中，直線的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcosα\\ y=tsinα\end{array}\right.$（t為參數），以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{2}cos（{θ+\frac{π}{4}}）$．
（1）求曲線C的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線；
（2）設直線l與曲線C交于A，B兩點，若點P的直角坐標為（1，0），試求當$α=\frac{π}{4}$時，|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲線C₂：$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，可以化為${ρ^2}=2\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）$，ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，可得曲線C的直角坐標方程，并指出其表示何種曲線；
（2）當$α=\frac{π}{4}$時，直線的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（為參數），利用參數的幾何意義求當$α=\frac{π}{4}$時，|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）曲線C₂：$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，可以化為${ρ^2}=2\sqrt{2}ρcos（θ+\frac{π}{4}）$，ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，
因此，曲線C的直角坐標方程為x²+y²-2x+2y=0…（4分）
它表示以（1，-1）為圓心、$\sqrt{2}$為半徑的圓．　         …（5分）
（2）當$α=\frac{π}{4}$時，直線的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$（為參數）
點P（1，0）在直線上，且在圓C內，把$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.$
代入x²+y²-2x+2y=0中得${t^2}+\sqrt{2}t-1=0$…（6分）
設兩個實數根為t₁，t₂，則A，B兩點所對應的參數為t₁，t₂，
則${t_1}+{t_2}=-\sqrt{2}$，t₁t₂=-1…（8分）∴$|PA|+|PB|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{6}$…（10分）

點評 本題考查極坐標方程與直角坐標方程的互化，考查參數方程的運用，屬于中檔題．