Question

已知：函數(shù)f(x)=ax+

b

x

+c（a、b、c是常數(shù)）是奇函數(shù)，且滿足f(1)=

5

2

，f(2)=

17

4

，
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，

1

2

)上的單調(diào)性并證明．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)是奇函數(shù)得到c=0，再利用題中的2個等式求出a、b的值．
（2）區(qū)間(0，

1

2

)上任取2個自變量x_1、x₂，將對應(yīng)的函數(shù)值作差、變形到因式積的形式，判斷符號，
依據(jù)單調(diào)性的定義做出結(jié)論．

解答：解：（1）∵f（-x）=-f（x）∴c=0∵

f(1)= 5 2 f(2)= 17 4

∴

a+b= 5 2 2a+ b 2 = 17 4

∴

a=2 b= 1 2

（2）∵由（1）問可得f(x)=2x+

1

2x

∴f(x)=2x+

1

2x

在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減的
證明：設(shè)任意的兩個實數(shù)0＜x1＜x2＜

1

2

∵f(x1)-f(x2)=2(x1-x2)+

1

2x1

-

1

2x2

=2(x1-x2)+

(x2-x1)

2x1x2

=

(x2-x1)(1-4x1x2)

2x1x2

又∵0＜x1＜x2＜

1

2

∴x₁-x₂＜00＜x1x2＜

1

4

，1-4x₁x₂＞0f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f(x)=2x+

1

2x

在區(qū)間（0，0.5）上是單調(diào)遞減的．

點評：本題考查用待定系數(shù)法求解析式，證明函數(shù)的單調(diào)性．