Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH是四棱錐的高，E為AD中點
（1）證明：PE⊥BC
（2）若∠APB=∠ADB=60°，求直線PA與平面PEH所成角的正弦值

Answer 1

【答案】分析：以H為原點，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，建立空間直角坐標系．
（1）表示，，計算，就證明PE⊥BC．
（2）∠APB=∠ADB=60°，求出C，P的坐標，再求平面PEH的法向量，
求向量，然后求與面PEH的法向量的數量積，可求直線PA與平面PEH所成角的正弦值．
解答：解：以H為原點，HA，HB，HP分別為x，y，z軸，線段HA的長為單位長，
建立空間直角坐標系如圖，則A（1，0，0），B（0，1，0）
（Ⅰ）設C（m，0，0），P（0，0，n）（m＜0，n＞0）
則
可得
因為
所以PE⊥BC．

（Ⅱ）由已知條件可得
設n=（x，y，z）為平面PEH的法向量
則即
因此可以取，
由，
可得
所以直線PA與平面PEH所成角的正弦值為．
點評：本題主要考查空間幾何體中的位置關系、線面所成的角等知識，考查空間想象能力以及利用向量法研究空間的位置關系以及線面角問題的能力．