Question

從原點出發的某質點M，按向量

a

=(0，1)移動的概率為

2

3

，按向量

b

=(0，2)移動的概率為

1

3

，設M可到達點（0，n）（n=1，2，3，…）的概率為P_n．
（1）求P₁和P₂的值；
（2）求證：Pn+2-Pn+1=-

1

3

(Pn+1-Pn)；
（3）求P_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）P₁為到達點（0，1）的概率，要到達（0，1）只有按向量

a

移動才可能，故P₁=

2

3

P₂為到達點（0，2）的概率，要到達（0，2）有兩種方法，第一種直接按向量

b

可到達；第二種兩次都按向量

a

走．
故P2=

2

3

•

2

3

+

1

3

．
（2）找出P_n+2、P_n+1、P_n的關系即Pn+2=

2

3

Pn+1+

1

3

Pn，即可得到答案．
（3）構造新數列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁為首項，-

1

3

為公比的等比數列，由等比數列求和可得答案．

解答：解：（1）P₁=

2

3

，P2=(

2

3

)2+

1

3

=

7

9

（2）證明：M點到達點（0，n+2）有兩種情況
①從點（0，n+1）按向量

a

=（0，1）移動
②從點（0，n）按向量

b

=（0，2）移動
∴Pn+2=

2

3

Pn+1+

1

3

Pn
∴Pn+2-Pn+1=-

1

3

 (Pn+1-Pn)
問題得證．
（3）數列{P_n+1-P_n}是以P₂-P₁為首項，-

1

3

為公比的等比數列
Pn+1-Pn=(P2-P1)(-

1

3

)n-1=

1

9

(-

1

3

)n-1=(-

1

3

)n+1
∴P_n-P_n-1=(-

1

3

)n
又因為P_n-P₁=（P_n-P_n-1）+（P_n-1-P_n-2）+…+（P₂-P₁）
=(-

1

3

)n+(-

1

3

)n-1+…+(-

1

3

)2
=

1

12

[1-(-

1

3

)n-1]
∴P_n=P_n-P₁+P₁
∴Pn=

1

4

×(-

1

3

)n+

3

4

．

點評：本題主要考查構造等比數列的方法．等比數列是高考中必考題，有時題中的數列不是等比的，要通過自己構造新的數列使之成為等比數列進而解題．