Question

已知函數f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）過定點A．
（1）求點A的坐標；
（2）解關于x的不等式f（x）＞2．

Answer 1

分析：（1）要求一個底數不確定的指數函數的圖象所過的定點，關鍵是根據a⁰=1，即令指數部分為0是解答本題的關鍵．
（2）由（1）的結論，我們可將不等式f（x）＞2化為不等式f（x）＞f（1），我們分a＞1時和0＜a＜1時兩種情況進而分類討論，最后進而綜合討論結果，即可得到答案．

解答：解：（1）當x-1=0時，x=1時
f（x）=a^x-1+1=a⁰+1=2
故函數f（x）=a^x-1+1（a＞0，a≠1）過定點（1，2）
（2）當a＞1時，函數f（x）=a^x-1+1為增函數
則不等式f（x）＞2可化為f（x）＞f（1）
解得x＞1
則不等式f（x）＞2的解集為（1，+∞）
當0＜a＜1時，函數f（x）=a^x-1+1為減函數
則不等式f（x）＞2可化為f（x）＜f（1）
解得x＜1
則不等式f（x）＞2的解集為（-∞，1）

點評：本題考查的知識點是指數函數的單調性與特殊點，指數函數的單調性的應用，其中（1）的關鍵是指數的運算性質中a⁰=1，（2）的關鍵是對a值進行分類討論．