Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的兩焦點分別為F₁、F₂，點P是以F₁F₂為直徑的圓與橢圓的交點，若∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，則橢圓離心率為（　　）

Answer 1

分析：根據題意可知∠F₁PF₂=90°，∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，進而求得∠PF₁F₂和∠PF₂F₁，在Rt△PF₁F₂分別表示出|PF₁|和|PF₂|，根據橢圓的定義可得2a=|PF₁|+|PF₂|，進而求得a和c的關系，從而求出橢圓的離心率．

解答：解：∵點P是以F₁F₂為直徑的圓與橢圓的交點，
∴∠F₁PF₂=90°
∵∠PF₁F₂=5∠PF₂F₁，
∴∠PF₁F₂=15°，∠PF₂F₁=75°
在直角三角形F₁PF₂中，|PF₁|=|F₁F₂|sin∠PF₂F₁=2c•sin75°，|PF₂|=|F₁F₂|sin∠PF₁F₂=2c•sin15°，
∵2a=|PF₁|+|PF₂|
∴2a=2c•sin75°+2c•sin15°=4csin45°cos30°=

6

c
∴e=

c

a

=

2

6

=

6

3

故選A．

點評：本題以橢圓為載體，考查橢圓的幾何性質，求橢圓的離心率的關鍵是找出a和c的關系．