Question

2．若f（x）=|log₂x|-m有兩個零點x₁，x₂（x₁＞x₂），則${x_1}^2+4{x_2}^2$的最小值為4．

Answer 1

分析 由題意可知：求得f（x）的兩個零點，則${x_1}^2+4{x_2}^2$=2^2m+4（$\frac{1}{2}$）^2m=2^2m+2^2-2m≥2$\sqrt{{2}^{2m}•{2}^{2-2m}}$=2$\sqrt{{2}^{2m+2-2m}}$=4．

解答 解：由題意可知：f（x）=|log₂x|-m有兩個零點x₁，x₂（x₁＞x₂），則x₁=2^m，x₂=（$\frac{1}{2}$）^m，
${x_1}^2+4{x_2}^2$=2^2m+4（$\frac{1}{2}$）^2m=2^2m+2²×2^-2m=2^2m+2^2-2m≥2$\sqrt{{2}^{2m}•{2}^{2-2m}}$=2$\sqrt{{2}^{2m+2-2m}}$=4，
∴${x_1}^2+4{x_2}^2$的最小值4．
故答案為：4．

點評 本題考查函數零點定理的判定，考查含絕對值的函數的零點判斷，基本不等式的性質，屬于中檔題．