Question

已知函數f（x）=ax³+x²-bx+4（a≠0）在x=1處取到極值．
（Ⅰ）求a，b滿足的關系式；
（Ⅱ）解關于x的不等式f（x）+2x＞1-6ax；
（Ⅲ）當-

1

3

＜a＜0時，給定定義域為D=[0，1]時，函數y=f（x）是否滿足對任意的x₁，x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）先求出函數的導函數，然后根據函數在x=1處取到極值，則f'（1）=0建立等式關系，從而求出a，b滿足的關系式；
（II）將f（x）的解析式代入，然后化簡整理提取公因式，討論a的正負，從而求出不等式的解集；
（III）利用導數研究函數在[0，1]上的最值，然后只需使|f（x）_max-f（x）_min|＜1成立即可．

解答：解：（Ⅰ）f'（x）=3ax²+2x-b
∵函數f（x）=ax³+x²-bx+4（a≠0）在x=1處取到極值
∴f'（1）=3a+2-b=0即b=3a+2
（Ⅱ）f（x）+2x＞1-6ax即ax³+x²-（3a+2）x+4+2x＞1-6ax?ax³+x²+3ax+3＞0?（x²+3）（ax+1）＞0?ax+1＞0
故：當a＞0時，不等式的解集為{x|x＞-

1

a

}
當a＜0時，不等式的解集為{x|x＜-

1

a

}
（Ⅲ）f（x）=ax³+x²-（3a+2）x+4∴f'（x）=3ax²+2x-（3a+2）
令f′(x)=0?(x-1)(3ax+3a+2)=0?x1=1，x=

3a+2

-3a

由-

1

3

＜a＜0?x2＞1，故可知x₁，x₂∈[0，1]時f（x）_max=f（0）=4，f（x）_min=f（1）=3-2a
∴x₁，x₂∈D時，|f（x₁）-f（x₂）|≤1+2a＜1故函數f（x）滿足條件．

點評：本題主要考查了函數在某點處取極值的條件，以及不等式的解法和函數恒成立等問題，是一道綜合題，屬于中檔題．