Question

設函數f（x）=ax³+bx+c（a≠0）為奇函數，其圖象在點（1，f（1））處的切線與直線x+18y-7=0垂直，導函數f′（x）的最小值為12．
（1）求a，b，c的值；
（2）設g(x)=

f(x)

x2

，當x＞0時，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根據函數f（x）是奇函數可求出c的值，然后對函數f（x）進行求導根據導函數的最小值等于12可確定b的值，再由導數的幾何意義可確定a的值．
（2）根據（1）確定函數f（x）的解析式，然后代入到函數g（x）中整理成g（x）=2(x+

6

x

)的形式，根據基本不等式可求出最小值．

解答：解：（1）∵f（x）為奇函數，
∴f（-x）=-f（x），即-ax³-bx+c=-ax³-bx-c，∴c=0，
又∵f′（x）=3ax²+b的最小值為12，∴b=12；
又直線x+18y-7=0的斜率為-

1

18

，因此，f'（1）=3a+b=18，∴a=2，
∴a=2，b=12，c=0為所求．
（2）由（1）得f（x）=2x³+12x，∴當x＞0時，g(x)=

f(x)

x2

=2(x+

6

x

)≥2•2

x• 6 x

=4

6

，
∴g（x）的最小值為4

6

．

點評：本題主要考查導數的幾何意義和利用基本不等式求函數的最值的問題．求函數的最值的方法一般有配方法、換元法、導數法、基本不等式法等，都要掌握．