Question

各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₁a₇=4，a₆=8，函數(shù)f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀x¹⁰，則f（

1

2

）=

5

4

．

Answer 1

分析：正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₁a₇=4，a₆=8，可以求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，根據(jù)函數(shù)f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀x¹⁰，求出通項(xiàng)b_n=a_nxⁿ，從而進(jìn)行求解；

解答：解：∵正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₁a₇=4，∴

a

2 4

=4，可得a₄=2，
∵a₆=8，
∴

a6

a4

=q²，可得q²=4，可得q=2，∴a₁×q³=2，得a₁=

1

4

，
∴a_n=a₁×qⁿ=

1

4

×2^n-1=2^n-3，
∴f（x）=a₁x+a₂x²+a₃x³+…+a₁₀x¹⁰，
∴f（

1

2

）=a₁

1

2

+a₂

1

2

2+a₃（

1

2

）³+…+a₁₀（

1

2

）¹⁰=

1

23

+

1

23

+…+

1

23

=10×

1

23

=

10

8

=

5

4

，
故答案為

5

4

；

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用，綜合性比較強(qiáng)，計(jì)算量也比較大，解題的關(guān)鍵是求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；