Question

已知 f（θ）=a sinθ+b cosθ，θ∈[0，π]，且1與2cos ² 

θ

2

的等差中項大于1與 sin ² 

θ

2

的等比中項的平方．
求：（1）當a=4，b=3時，f（θ） 的最大值及相應的 θ 值；
（2）當a＞b＞0時，f（θ） 的值域．

Answer 1

分析：（1）由1與2cos ² 

θ

2

的等差中項大于1與 sin ² 

θ

2

的等比中項的平方．可解出θ∈[0，

π

3

]，（1）當a=4，b=3時，f（θ））=5sin（θ+α），（tanα=

3

4

），根據θ∈[0，

π

3

]，及α的取值范圍進行判斷即可得出f（θ） 的最大值及相應的 θ 值；
（2）由（1）f（θ）=5sin（θ+α），當a＞b＞0時，arctan

b

a

∈（0，

π

4

）判斷出θ+α∈（0，

7

12

π），解出f（θ） 的值域．

解答：解：由題意

1+2cos  2 θ 2

2

＞sin ² 

θ

2

，即cosθ＞1-cosθ，∴cosθ＞

1

2

，∴2kπ-

π

3

≤θ≤2kπ+

π

3

，k∈z，又θ∈[0，π]，∴θ∈[0，

π

3

]，
（1）當a=4，b=3時，f（θ）=5sin（θ+α），（tanα=

3

4

），∵

3

3

＜

3

4

＜1，
∴

π

6

＜α＜

π

4

，∴

π

6

＜θ+α＜

π

4

+

π

3

=

7

12

π
故f（θ） 的最大值為5，此時有相應的有 θ+α=

π

2

，θ=

π

2

-α=

π

2

-arctan

3

4

 
（2）當a＞b＞0時，

b

a

∈(0，1)，故arctan

b

a

∈（0，

π

4

）故θ+α∈（0，

7

12

π），
∴f（θ）=5sin（θ+α）∈（0，5]
f（θ） 的值域是（0，5]

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合以及三角函數的最值，求解本題的關鍵是判斷出角θ的范圍及對f（θ）化簡，然后再根據三角函數的性質判斷出最值及值域．