Question

已知數列｛a_n｝滿足：a₁＝，且a_n＝

（1）  求數列｛a_n｝的通項公式；

（2）  證明：對于一切正整數n，不等式a₁?a₂?……a_n<2?n！

Answer 1

解：（1）將條件變為：1－＝，因此｛1－｝為一個等比數列，其首項為

1－，公比，從而1－＝，據此得a_n＝（n³1）…………1°

（2）證：據1°得，a₁?a₂?…a_n＝

為證a₁?a₂?……a_n<2?n！

只要證nÎN^*時有…………2°

顯然，左端每個因式都是正數，先證明，對每個nÎN^*，有

³1－（）…………3°

用數學歸納法證明3°式：

（i）n＝1時，3°式顯然成立，

（ii）  設n＝k時，3°式成立，

即³1－（）

則當n＝k＋1時，

³〔1－（）〕?（）

＝1－（）－（）

³1－（）即當n＝k＋1時，3°式也成立。

故對一切nÎN^*，3°式都成立。

利用3°得，³1－（）＝1－

＝1－=>

故2°式成立，從而結論成立。