Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長和底面邊長均為2，A₁在底面ABC內的射影O為底面△ABC的中心，如圖所示：
（1）聯結BC₁，若BC1=2

2

，求異面直線AA₁與BC₁所成角的大小；
（2）聯結A₁C、A₁B，求四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積．

Answer 1

分析：（1）利用勾股定理證明BB₁⊥B₁C₁，判斷∠B₁BC₁為異面直線AA₁與BC₁所成的角，通過解三角形求得角；
（2）根據VA1-BCC1B1=2VA1-BB1C1=2VB-A1B1C1，只需利用三棱錐的換底性求得三棱錐三棱錐B-A₁B₁C₁的體積，可得答案．

解答：解：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱長和底面邊長均為2，BC1=2

2

，
∴BB12+B1C12=BC12，∴BB₁⊥B₁C₁，
∵AA₁∥BB₁，∴∠B₁BC₁為異面直線AA₁與BC₁所成的角，
∠B₁BC₁=45°，∴異面直線AA₁與BC₁所成的角為45°；
（2）∵S△BCC1=S△BB1C1，
∴VA1-BCC1B1=2VA1-BB1C1=2VB-A1B1C1，
連接AO，∵A₁在底面ABC內的射影O為底面△ABC的中心，
∴A₁O為三棱錐B-A₁B₁C₁的高，
∴OA=

2

3

×2×

3

2

=

2 3

3

，
∴四棱錐A₁-BCC₁B₁的體積V=2×

1

3

×

1

2

×2×2×

3

2

×

2 3

3

=

4

3

．

點評：本題考查了異面直線所成的角及求法，考查了割補法求幾何體的體積，割補法是求幾何體體積的常用方法，必需熟練掌握．