Question

已知函數．
（I）若p=2，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數f（x）在其定義域內為增函數，求正實數p的取值范圍；
（Ⅲ）設函數，若在[1，e]上至少存在一點x，使得f（x）＞g（x）成立，求實數p的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求出函數在x=1處的值，求出導函數，求出導函數在x=1處的值即切線的斜率，利用點斜式求出切線的方程．
（II）求出函數的導函數，令導函數大于等于0恒成立，構造函數，求出二次函數的對稱軸，求出二次函數的最小值，令最小值大于等于0，求出p的范圍．
（III）通過g（x）的單調性，求出g（x）的最小值，通過對p的討論，求出f（x）的最大值，令最大值大于等于g（x）的最小值求出p的范圍．
解答：解：（I）當p=2時，函數，f（1）=2-2-2ln1=0.，
曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線的斜率為f'（1）=2+2-2=2．
從而曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y-0=2（x-1）
即y=2x-2．
（II）．
令h（x）=px²-2x+p，
要使f（x）在定義域（0，+∞）內是增函數，只需h（x）≥0在（0，+∞）內恒成立．
由題意p＞0，h（x）=px²-2x+p的圖象為開口向上的拋物線，對稱軸方程為，
∴，只需，
即p≥1時，h（x）≥0，f'（x）≥0
∴f（x）在（0，+∞）內為增函數，正實數p的取值范圍是[1，+∞）．
（III）∵在[1，e]上是減函數，
∴x=e時，g（x）_min=2；x=1時，g（x）_max=2e，
即g（x）∈[2，2e]，
1當p＜02時，h（x）=px²-2x+p3，其圖象為開口向下的拋物線，對稱軸4在y5軸的左側，且h（0）＜0，
所以f（x）在x∈[1，e]9內是減函數．
當p=0時，h（x）=-2x，因為x∈[1，e]，所以h（x）＜0，
，此時，f（x）在x∈[1，e]內是減函數．
∴當p≤0時，f（x）在[1，e]上單調遞減⇒f（x）_max=f（1）=0＜2，不合題意； （
當0＜p＜1時，由12，所以．
又由（2）知當p=1時，f（x）在[1，e]上是增函數，
∴，不合題意；
14當p≥115時，由（2）知f（x）16在[1，e]17上是增函數，f（1）=0＜218，又g（x）19在[1，e]20上是減函數，
故只需f（x）_max＞g（x）_min，x∈[1，e]，而，g（x）_min=2，即，解得
綜上所述，實數p的取值范圍是．
點評：解決曲線的切線問題，常利用導數在切點處的值為切線的斜率求出切線方程；解決函數單調性已知求參數范圍問題，常令導函數大于等于0（小于等于0）恒成立，求出參數的范圍．