Question

已知平面內兩定點，動點P滿足條件：，設點P的軌跡是曲線E，O為坐標原點．
（I）求曲線E的方程；
（II）若直線y=k（x+1）與曲線E相交于兩不同點Q、R，求的取值范圍；
（III）（文科做）設A、B兩點分別在直線y=±2x上，若，記x_A、x_B分別為A、B兩點的橫坐標，求|x_A•x_B|的最小值．
（理科做）設A、B兩點分別在直線y=±2x上，若，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

解：（I）由題意，可知動點P的軌跡是焦點在y軸上的雙曲線的上半支，
其中c=，2a=4，
∴b=1，
∴曲線E的方程是．
（II）設Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），
由，得，
當，即k=±2時，顯然不符合題意，
∴．
∴，
解得．
∵，
∴
=
=
=-7+．
∵，
∴0＜4-k²＜2，
∴，
∴．
（III）（文科做）∵曲線E的方程是，
∴雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x．
∵，且λ＞0，
∴點P必內分線段AB，
故點A，B均在x軸上方，
不妨設x_A＞0，x_B＜0，
即A（x_A，2x_A），B（x_B，-2x_B），
由，得P點的坐標為（），
將P點坐標代入中，
化簡，得=．
∴，
∵，當且僅當λ=1時，等號成立．
∴|x_A•x_B|_min=1．
（理科做））∵曲線E的方程是，
∴雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x．
∵，且λ＞0，
∴點P必內分線段AB，
故點A，B均在x軸上方，
設A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．
由，得點P的坐標為（）．
將點P的從標代入中，
化簡，得．
設∠AOB=2θ，
∵tan，
∴，
∵，
∴
=2mn
=．
∵，
∴，
∴．
∴△ABC面積的最大值為．
分析：（I）由題意，可知動點P的軌跡是焦點在y軸上的雙曲線的上半支，其中c=，2a=4，由此能求出曲線E的方程．
（II）設Q（x₁，y₁），R（x₂，y₂），（y₁，y₂＞0），由，得，當，不符合題意，故．由此入手能夠求出求的取值范圍．
（III）（文科做）由曲線E的方程是，知雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x．由，且λ＞0，知點A，B均在x軸上方，設A（x_A，2x_A），B（x_B，-2x_B），由，得P點的坐標為（），將P點坐標代入中，得=．由此能求出|x_A•x_B|的最小值．
（理科做））由曲線E的方程是，知雙曲線的兩條漸近線方程為y=±2x．由，且λ＞0，知點A，B均在x軸上方，設A（m，2m），B（-n，2n），m＞0．n＞0．由，得點P的坐標為（）．將P的從標代入中，得．設∠AOB=2θ，由，由此能求出△ABC面積的最大值．
點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系．考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．對數學思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答