Question

【題目】已知函數f（x）=x2+2ax+2，
（1）求實數a的取值范圍，使函數y=f（x）在區間[﹣5，5]上是單調函數；
（2）若x∈[﹣5，5]，記y=f（x）的最大值為g（a），求g（a）的表達式并判斷其奇偶性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數f（x）=x2+2ax+2，

∴對稱軸x=﹣a，

根據二次函數的性質得出：當﹣a≤﹣5或﹣a≥5時，f（x）在[﹣5，5]上單調

∴a≥5或a≤﹣5

（2）解：對稱軸x=﹣a，

當﹣a≤0，即a≥0，最大值為g（a）=f（5）=27+10a，

當﹣a＞0，即a＜0，最大值為g（a）=f（﹣5）=27﹣10a，

∴ ，

g（a）=27+|10a|，

∵g（﹣a）=g（a）

∴g（a）為偶函數

【解析】（1）對稱軸x=﹣a，當﹣a≤﹣5或﹣a≥5時，f（x）在[﹣5，5]上單調（2）分類得出：當﹣a≤0，即a≥0，最大值為g（a）=f（5）=27+10a，當﹣a＞0，即a＜0，最大值為g（a）=f（﹣5）=27﹣10a，根據解析式得出奇偶性．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的奇偶性的相關知識，掌握偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱，以及對二次函數的性質的理解，了解當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．