Question

已知函數f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的圖象過點P(

π

12

，0)，且圖象上與點P最近的一個最低點是Q(-

π

6

，-2)．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f(α+

π

12

)=

3

8

，且α為第三象限的角，求sinα+cosα的值；
（Ⅲ）若y=f（x）+m在區間[0，

π

2

]上有零點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由周期求得ω=2，又A=2且過點P(

π

12

，0)，可得sin(

π

12

×2+φ)=0，結合|φ|＜

π

2

，可得φ=-

π

6

，從而求得f（x）的解析式．
（Ⅱ）由f(α+

π

12

)=

3

8

得 2sin2α=

3

8

，再由α為第三象限的角，根據sinα+cosα=-

1+sin2α

，運算求得結果．
（Ⅲ）由x∈[0，

π

2

]，利用正弦函數的定義域和值域求得-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2．由y=f（x）+m在區間[0，

π

2

]上有零點，可得函數f（x）的圖象和直線y=m有交點，由此可得m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）由已知條件可得：

T

4

=

π

12

-(-

π

6

)=

π

4

，故T=π，即

2π

ω

=π，解得ω=2．（1分）
又A=2且過點P(

π

12

，0)，∴sin(

π

12

×2+φ)=0，結合|φ|＜

π

2

，可得φ=-

π

6

，（2分）
∴f（x）=2sin(2x-

π

6

)．（4分）
（Ⅱ）由f(α+

π

12

)=

3

8

得  2sin2α=

3

8

，（6分）∵α為第三象限的角，∴sinα+cosα=-

1+sin2α

=-

19

4

，
（Ⅲ）∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，∴-1≤2sin(2x-

π

6

)≤2．（10分）
若y=f（x）+m在區間[0，

π

2

]上有零點，則函數f（x）的圖象和直線y=-m有交點．
故-1≤-m≤2，解得-2≤m≤1 即m的取值范圍是[-2，1]．（12分）

點評：本題主要考查由函數y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．