Question

函數(shù)f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx．
（I）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），求F（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件．
（II）求證：當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

Answer 1

分析：（I）由F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，其定義域?yàn)椋?，+∞），知F‘(x)=2ax+2-

1

x

=

2ax2+2x-1

x

，由F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，知方程2ax²+2x-1=0有兩個(gè)不相等的正根，由此能求出F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件．
（II）不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是a≥

lnx-(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立．令h（x）=lnx-（2x+1），則h′(x)=

1

x

-2=

1-2x

x

，由此能夠證明當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

解答：解：（I）函數(shù)f（x）=ax²+2x+1，g（x）=lnx，
∴F（x）=f（x）-g（x）=ax²+2x+1-lnx，
其定義域?yàn)椋?，+∞）．
∴F‘(x)=2ax+2-

1

x

=

2ax2+2x-1

x

，
∴F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，
∴方程2ax²+2x-1=0有兩個(gè)不相等的正根，
∴

△=4+8a＞0 x1+x2=- 1 a ＞0 x1•x2=- 1 2a ＞0

，
解得-

1

2

＜a＜0，
∴F（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)的充要條件是-

1

2

＜a＜0．
（II）證明：不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是：
F（x）=ax²+2x+1-lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，
即a≥

lnx-(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立．
令h（x）=lnx-（2x+1），則h′(x)=

1

x

-2=

1-2x

x

，
當(dāng)x∈(0，

1

2

)時(shí)，h′（x）＞0，
當(dāng)x∈(

1

2

，+∞)時(shí)，h′（x）＜0．
∴x=

1

2

時(shí)，h（x）_max=ln

1

2

-2＜0，
故x∈（0，+∞），都有

lnx-(2x+1)

x2

＜0，
∴當(dāng)a≥0時(shí)，a≥

lnx-(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立，
即當(dāng)a≥0時(shí)，不等式f（x）≥g（x）恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，易錯(cuò)點(diǎn)是不等式f（x）≥g（x）恒成立的充要條件是a≥

lnx-(2x+1)

x2

在（0，+∞）上恒成立，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．