Question

設(shè){a_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，令S_n=lga₁+lga₂+…+lga_n，n∈N^*，若存在互異的正整數(shù)m，n，使得S_m=S_n，則S_m+n=______．

Answer 1

∵{a_n}是正項(xiàng)等比數(shù)列，設(shè)公比為q，
∴l(xiāng)ga_n+1-lga_n=lgq
∴數(shù)列{lga_n}為等差數(shù)列，
設(shè)公差為d
則S_m=mlga₁+

m(m-1)d

2

，S_n=nlga₁+

n(n-1)d

2

∵S_m=S_n，
∴S_m-S_n=mlga₁+

m(m-1)d

2

-nlga₁-

n(n-1)d

2

=（m-n）（lga₁+

m+n-1

2

d）=0
∵m≠n
∴l(xiāng)ga₁+

m+n-1

2

d）=0
∴S_m+n=（m+n）lga₁+

(m+n)(m+n-1)d

2

=（m+n）（lga₁+

m+n-1

2

d）=0
故答案為0．