Question

已知圓C：x²+y²+bx+ay-3=0（a，b為正實數）上任意一點關于直線l：x+y+2=o的對稱點都在圓C上，則

1

a

+

3

b

的最小值為

1+

3

2

．

Answer 1

分析：求出圓的圓心坐標，由題意可知圓心在直線上，得到a，b的方程，然后利用基本不等式求出

1

a

+

3

b

的最小值．

解答：解：圓C：x²+y²+bx+ay-3=0（a，b為正實數），所以圓的圓心坐標（-

b

2

，-

a

2

），
因為圓C：x²+y²+bx+ay-3=0（a，b為正實數）上任意一點關于直線l：x+y+2=o的對稱點都在圓C上，
所以直線經過圓心，即a+b=4，

1

a

+

3

b

=（

1

a

+

3

b

）

a+b

4

=

1

4

+

3

4

+

b

4a

 +

3a

4b

=1+

b

4a

+

3a

4b

≥1+2

b 4a × 3a 4b

=1+

3

2

．當且僅當

b

4a

=

3a

4b

且a+b=4時取等號．
故答案為：1+

3

2

．

點評：本題考查直線與圓的位置關系，基本不等式的應用，考查轉化思想，計算能力．