Question

已知一焦點在x軸上，中心在原點的雙曲線的實軸等于虛軸，且圖象經過點

2， 3

．
（1）求該雙曲線的方程；
（2）若直線y=kx+1與該雙曲線只有一個公共點，求實數k的值．

Answer 1

（1）∵a=b，∴所求圓錐曲線為等軸雙曲線．
∴設雙曲線方程為

x2

a 2

-

y2

a 2

=1

a＞0

，
∵圖象經過點

2， 3

，∴

22

a 2

-

3 2

a 2

=1，解得a=1，
∴所求雙曲線方程為x²-y²=1；
（2）由

y=kx+1 x2-y2=1

?(k2-1)x2+2kx+2=0，

(1)當k2=1時，k=±1，直線與雙曲線的漸近線平行， ∴直線與雙曲線有一個交點．

(2)當k2≠1時，△=4k2-8(k2-1)=0 ?k2=2?k=± 2 ，

，
∴k=-1、1、

2

、-

2

，直線與雙曲線有一個公共點．