Question

在△ABC中,三個內角∠A、∠B、∠C對應的邊分別為a、b、c,且∠A、∠B、∠C成等差數列,a、b、c成等比數列,求證:△ABC為等邊三角形.

Answer 1

思路分析:將∠A、∠B、∠C成等差數列,轉化為符號語言就是2∠B=∠A+∠C;∠A、∠B、∠C為△ABC的內角,這是一個隱含條件,明顯表示出來就是∠A+∠B+∠C=π;a、b、c成等比數列,轉化為符號語言就是b²=ac.此時,如果能把角和邊統一起來,那么就可以進一步尋找角和邊之間的關系,進而判斷三角形的形狀,余弦定理正好滿足要求,所以可用余弦定理來證明.

證明:由∠A、∠B、∠C成等差數列,有2∠B=∠A+∠C.①

因為∠A、∠B、∠C為△ABC的內角,所以∠A+∠B+∠C=π.②

由①②得,∠B=.③

由a、b、c成等比數列,有b²=ac.④

由余弦定理及③可得b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac.

再由④,得a²+c²-ac=ac,即(a-c)²=0,因此有a=c.

從而有∠A=∠C.⑤

由②③⑤得∠A=∠B=∠C=.

所以△ABC為等邊三角形.