Question

（2013•資陽(yáng)模擬）已知函數(shù)f（x）=2lnx-x²+ax（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，  e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）若對(duì)區(qū)間（1，2）內(nèi)任意兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求f（x）的圖象在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)g（x）=f（x）-ax+m在[

1

e

，  e]上有兩個(gè)零點(diǎn)，將函數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極大值和極小值之間的關(guān)系，進(jìn)行求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（Ⅲ）將不等式

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2恒成立，問題轉(zhuǎn)化為最值恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2lnx-x²+2x，f′(x)=

2

x

-2x+2，切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），
切線的斜率k=f'（1）=2，則切線方程為y-1=2（x-1），即y=2x-1．（2分）
（Ⅱ）g（x）=2lnx-x²+m，則g′(x)=

2

x

-2x=

-2(x+1)(x-1)

x

，
∵x∈[

1

e

，e]，故g'（x）=0時(shí)，x=1．
當(dāng)

1

e

＜x＜1時(shí)，g'（x）＞0；
當(dāng)1＜x＜e時(shí)，g'（x）＜0．
故g（x）在x=1處取得極大值g（1）=m-1．（4分）
又g(

1

e

)=m-2-

1

e2

，g（e）=m+2-e²，g(e)-g(

1

e

)=4-e2+

1

e2

＜0，則g(e)＜g(

1

e

)，
∴g（x）在[

1

e

，  e]上的最小值是g（e）．（6分）
g（x）在[

1

e

，  e]上有兩個(gè)零點(diǎn)的條件是

g(1)=m-1＞0 g( 1 e )=m-2- 1 e2 ≤0

，
解得1＜m≤2+

1

e2

，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是(1，  2+

1

e2

]．（8分）
（Ⅲ）不妨設(shè)1＜x₁＜x₂＜2，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜2恒成立等價(jià)于f（x₂）-f（x₁）＜2（x₂-x₁），即f（x₁）-2x₁＞f（x₂）-2x₂．（10分） 
令u（x）=f（x）-2x，由x₁，x₂具有任意性知，u（x）在區(qū)間（1，2）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴u'（x）=f'（x）-2＜0恒成立，即f'（x）＜2恒成立，（12分）
∴

2

x

-2x+a＜2，a＜2x-

2

x

+2在（1，2）上恒成立．
令h(x)=2x-

2

x

+2，則h′(x)=2+

2

x2

＞0，（13分）
∴h(x)=2x-

2

x

+2在（1，2）上單調(diào)遞增，則h（x）＞h（1）=2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，2]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力，運(yùn)算量較大，綜合性較強(qiáng)，難度較大．