Question

設函數f（x）=xⁿ+x-1（（n∈N₊，n≥2）．則f（x）在區間（

1

2

，1）內（　　）

A．存在唯一的零點x_n，且數列x₂，x₃，…，x_n…單調遞增

B．存在唯一的零點x_n，且數列x₂，x₃，…，x_n…單調遞減

C．存在唯一的零點x_n，且數列x₂，x₃，…，x_n…非單調數列

D．不存在零點

Answer 1

分析：利用零點的判斷方法只要判斷f(

1

2

)f(1)＜0，說明函數f（x）在區間（

1

2

，1）內存在零點；利用導數可證明f（x）在區間（

1

2

，1）上單調，即可說明f（x）在區間（

1

2

，1）內存在唯一的零點．再利用條件證明零點單調即可．

解答：解：當n≥2時，f(

1

2

)=

1

2n

-

1

2

＜0，f（1）=1＞0，∴f(

1

2

)f(1)＜0，∴f（x）在區間（

1

2

，1）內有零點．
又當x∈（

1

2

，1）時，f^′（x）=nx^n-1+1＞0，∴f（x）在區間（

1

2

，1）上單調遞增．
故函數f（x）在區間（

1

2

，1）內存在唯一的零點x_n．
下面證明所有零點組成的數列x₂，x₃，…，x_n…單調遞增．
由xnn+xn-1=0，xn+1n+1+xn+1-1=0，

1

2

＜xi＜1，（i∈N₊）（i≥2）可知：x_n≠x_n+1．
用反證法證明：必有x_n＜x_n+1．
如若不然，則x_n+1＜x_n．
∵

1

2

＜xi＜1，于是xn+1n＜xnn，
∴1=xn+1n+1+xn+1＜xn+1n+xn+1＜xnn+xn=1，矛盾．
故必有x_n＜x_n+1．
故選A．

點評：熟練掌握函數零點的判斷方法、利用導數證明單調性及反證法是解題的關鍵．