Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分別為AB與BB₁的中點，
（Ⅰ）求證：EF⊥平面A₁D₁B；
（Ⅱ）求二面角F-DE-C大小的正切值．

Answer 1

證明：（I）∵A₁D₁⊥平面A₁B₁BA，EF?平面A₁B₁BA，
∴A₁D₁⊥EF
∵A₁B⊥AB₁，EF∥AB₁，
∴A₁B⊥EF
∴EF⊥平面A₁D₁B；
解：（II）延長DE、CB交于N，∵E為AB中點，∴△DAE≌△NBE
過B作BM⊥EN交于M，連FM，
∵FB⊥平面ABCD
∴FM⊥DN，∴∠FMB為二面角F-DE-C的平面角
設AB=a，則BM= 又BF=
∴tan∠FMB==，即二面角F-DE-C大小的正切值為
分析：（I）要證EF⊥平面A₁D₁B，只需證A₁D₁⊥EF，A₁B⊥EF
（II）要求二面角F-DE-C大小的正切值，關鍵是找出二面角的平面角．延長DE、CB交于N，過B作BM⊥EN交于M，連FM，則∠FMB為二面角F-DE-C的平面角，故可求．
點評：本題以正方體為載體，考查線面垂直，考查面面角，關鍵是作出二面角的平面角．