Question

已知函數f（x）=lnx-ax，g（x）=f（x）+f'（x），其中a是正實數．
（1）若當1≤x≤e時，函數f（x）有最大值-4，求函數f（x）的表達式；
（2）求a的取值范圍，使得函數g（x）在區間（0，+∞）上是單調函數．

Answer 1

分析：（1）由當1≤x≤e時，函數f（x）有最大值-4，求出函數f（x）=lnx-ax的導數，對a的范圍時行討論，得出函數在1≤x≤e最值，令其為-4，求出參數a，即可得到函數的解析式；
（2）a的取值范圍，使得函數g（x）在區間（0，+∞）上是單調函數，可得出，此a的取值范圍，可設得函數g（x）在區間（0，+∞）上的導數值恒為正或恒為負，由此建立不等式求出a的取值范圍．

解答：解：（1）f′(x)=

1

x

-a，由

f′(x)＞0 x＞0

得0＜x＜

1

a

∴f(x)在(0，

1

a

]上單調遞增，在[

1

a

，+∞)單調遞減，（3分）
若x∈（0，+∞），則當x=

1

a

時，f（x）取得最大值．
由條件1≤x≤e，所以
①當1≤

1

a

≤e，即

1

e

≤a≤1時，fmax(x)=f(

1

a

)=-4，∴a=e³＞1不可能；
②當0＜

1

a

＜1即a＞1時，由單調性可知f_max（x）=f（1）=-4，∴a=4＞1滿足條件；
③當

1

a

＞e即0＜a＜

1

e

時，由單調性可知f_max（x）=f（e）=-4，∴a=

5

e

＞

1

e

也不可能．
綜上可知a=4，進而f（x）=lnx-4x（7分）
（2）g(x)=lnx-ax+

1

x

-a∴g′(x)=

1

x

-a-

1

x2

=-(

1

x

-

1

2

)2+

1

4

-a（9分）
當

a＞0 1 4 -a≤0

，即a≥

1

4

時，g'（x）≤0恒成立，且只有x=2時g'（x）=0，
所以a≥

1

4

時，函數g（x）在區間（0，+∞）上單調．
因為所求a的取值范圍是[

1

4

，+∞)．   （12分）

點評：本題考查導數在最大值與最小值問題中的應用，解題的關鍵是利用導數研究出函數的單調性，判斷出函數的最值，本題第一小題利用最值建立方程求出參數，此是導數在最值問題中的一個重要運用，本題運算量大，解題時要認真嚴謹，避免變形運算失誤，導致解題失敗．