Question

若(

x

+

1

2 4 x

)n展開式中前三項系數成等差數列，求：
（1）展開式中含x的一次冪的項；
（2）展開式中所有x的有理項．

Answer 1

分析：（1）利用二項展開式的通項公式求出通項，求出前三項系數，列出方程求出n；令通項中的x=1求出展開式中含x的一次冪的項．
（2）令通項中的x為有理數得到展開式中所有x的有理項．

解答：解：（1）∵(

x

+

1

2 4 x

)n展開式的通項Tr+1=(

1

2

)r

C

r n

x

2n-3r

4

∴前三項的系數分別為

C

0 n

 ， 

1

2

C

1 n

 ， 

1

4

C

2 n

成等差數列，
n=1+

n(n-1)

8

  n²-9n+8=0  n=8或n=1（舍去）
含x的一次項為：T5=

C

4 8

•(

x

)4•(

1

2 4 x

)4=

35

8

x，
（2）所有的有理項為：x4 ， 

35

8

x ， 

1

256x2

．

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式，解決二項展開式的特定項問題．