Question

公比不是1的等比數列{a_n}的通項公式a_n=cosnβ，且對任意的n∈N^*都有a_n+2=a_n，則該數列的前2009項的積為

 

．

Answer 1

分析：根據等差數列的通項公式得到a_n+2等于a_nq²，而有a_n+2=a_n，得到q的平方等于1，又q不等于1得到q的值為-1，然后分別把n=1和n=2代入通項公式表示出首項和第2項，根據等比數列的性質用第2項比上第1項，等于公比q等于-1，利用二倍角的余弦函數公式化簡，得到一個關于cosβ的方程，求出方程的解即可得到cosβ的值，進而得到等比數列的首項，然后根據首項和求出的公比q，列舉出數列的前2009項相乘的形式方程為1005個（-1）相乘和1004個1相乘或1005個（-

1

2

）相乘和1004個

1

2

相乘，根據數列的規律，利用乘法的法則，即可得到該數列的前2009項的積．

解答：解：由a_n+2=a_nq²=a_n，
得到q²=1，又q≠1，所以q=-1，
令n=1，得到a₁=cosβ，n=2時，a₂=cos2β，
則

a2

a1

=

2cos2β -1

cosβ

=q=-1，
化簡得：2cos²β+cosβ-1=0，
即（2cosβ-1）（cosβ+1）=0，
解得cosβ=

1

2

或cosβ=-1，
所以此數列前2009項分別為-1，1，-1，…，-1或

1

2

，-

1

2

，

1

2

，…，-

1

2

，
則該數列的前2009項的積為-1或-

1

22009

．
故答案為：-1或-

1

22009

點評：此題考查學生掌握等比數列的性質，靈活運用等比數列的通項公式及二倍角的余弦函數公式化簡求值，此題求出的公比q有兩個值，所以求出的結果也有兩個．