Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，M，N是對角線AC₁上的兩點，動點P在正方體表面上且滿足|PM|=|PN|，則動點P的軌跡長度的最大值為（ ）
A．3
B．
C．
D．6

Answer 1

【答案】分析：根據滿足PM=PN這個條件可以看出點P是在垂直于AC₁且過線段MN中點的一個平面a上的，而題目中又說P在正方體表面上，所以P點的軌跡便是平面a與正方體各表面的交線所組成的一個由折線段構成的軌跡．假象有一個平面從A點開始切割（該平面垂直AC₁），開始得到的圖形是三角形，且三角形的周長慢慢變長，直到切割到A₁點，利用運動變化的思想研究整個過程可得出動點P的軌跡長度的最大值．
解答：解：滿足PM=PN這個條件可以看出點P是在垂直于AC₁且過線段MN中點的一個平面a上的，又說P在正方體表面上，
∴P點的軌跡便是平面a與正方體各表面的交線所組成的一個由折線段構成的軌跡．
也就是垂直于正方體體對角線的平面與正方體表面相交的交線構成的哪個圖形的周長最大．
假象有一個平面從A點開始切割（該平面垂直AC₁），開始得到的圖形是三角形，且三角形的周長慢慢變長，直到切割到A₁點，
這個切割圖形為三角形A₁BD，此時是當切割圖形是三角形時的周長最大值，為3．
之后的切割圖形變為六邊形，經計算得出當切割圖形為六邊形時圖形的周長恒定還是為3，
之后切割圖形又為三角形，周長開始從3遞減趨向于零，
直至切割到C₁點切割結束．
根據整個過程來說可以得出P點的最大長度為3．
故選B．
點評：本題考查立體幾何中的軌跡問題，考查學生的分析解決問題的能力，解題的關鍵是確定滿足|PM|=|PN|的點P所構成的軌跡．