Question

線段AB過點M(m,0)(m＞0),如圖,并且點A、B到x軸的距離之積為4 m,拋物線C以x軸為對稱軸且經過O、A、B三點.

(1)求拋物線C的方程;

(2)當m=1,|AM|=2|MB|時,求直線AB的方程.

Answer 1

解：(1)由題可設拋物線的方程為y²=2px(p＞0).

當線段AB垂直于x軸時,A、B的坐標為(m,±2),

∴(2)²=2p·m.

∴2p=4.

當線段AB與x軸不垂直時,設直線AB的斜率為k(k≠0),則直線AB的方程為y=k(x-m).

由

y²-y-2pm=0.

∴A、B兩點的縱坐標的積為-2pm.

由題知|-2pm|=4m,

∴2p=4.

綜上所述,拋物線C的方程為y²=4x.

(2)設A(x₁,y₁)、B(y₂,y₂),

由(1)可得y²-y-4=0,

∴

∵M的縱坐標為0,|AM|=2|MB|,

∴,即y₁=-2y₂.

把y₁=-2y₂代入

消去y₂得k=±2,

∴直線AB的方程為y=±2(x-1).

綠色通道：

當設直線的點斜式方程時,應首先考慮直線的斜率是否存在.