Question

如圖，F是中心在原點、焦點在x軸上的橢圓C的右焦點，\直線l：x=4是橢圓C的右準線，F到直線l的距離等于3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P是橢圓C上動點，PM⊥l，垂足為M．是否存在點P，使得△FPM為等腰三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由已知，得出a，b的方程，解得a，b．最后寫出橢圓C的方程即可；
（2）由

PF

PM

=e=

1

2

，得PF=

1

2

PM．∴PF≠PM．下面分類討論：①若PF=FM，②若FM=PM，結合已知條件求得第②情形存在點P（

4

7

，±

3 15

7

），使得△PFM為等腰三角形．

解答：解：（1）設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知，得

a2 c =4 a2 c -c=3

∴

a=2 c=1

∴b=

3

．
所以橢圓C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）由

PF

PM

=e=

1

2

，得PF=

1

2

PM．∴PF≠PM．
①若PF=FM，則PF+FM=PM，與“三角形兩邊之和大于第三邊”矛盾，∴PF不可能與PM相等．
②若FM=PM，設P（x，y）（x≠±2），則M（4，y）．
∴

32+y2

=4-x，∴9+y²=16-8x+x²，又由

x2

4

+

y2

3

=1，得y²=3-

3

4

x²．
∴9+3-

3

4

x²=16-8x+x²，∴

7

4

x²-8x+4=0．∴7x²-32x+16=0．
∴x=

4

7

或x=4．∵x∈（-2，2），∴x=

4

7

．∴P（

4

7

，±

3 15

7

）．
綜上，存在點P（

4

7

，±

3 15

7

），使得△PFM為等腰三角形．

點評：本題考查橢圓的性質和應用，解題的關鍵是要認真審題，仔細解答，注意合理地選用反證法的思想方法證題．