Question

已知數(shù)列滿足

（1）求數(shù)列的通項公式；

（2）設(shè)b= (n∈N，n≥2), b,

       求證：b₁+b₂……+b_n< 3；

（3）設(shè)點M(n,b)((n∈N，n>2)在這些點中是否存在兩個不同的點同時在函數(shù)

y =(k>0)的圖象上,如果存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由.

Answer 1

（1）解法一∵ ∴

       ∴數(shù)列{}是以首項a₁+1，公比為2的等比數(shù)列，即

      

解法二、…………………………①

       …………………………②

       ②－①得

      

        為公比為2，首項為2的等比數(shù)列.

       遞推迭加得

      

   （也可用數(shù)學歸法證明：）

   （2）b== =

   ≤(n≥2)

       ∴b+b+……+b

       =1+

       n=1時,b₁=1<3 成立, 所以b₁+b₂+……+b_n< 3 .

       假設(shè)有兩個點A(p,b),B(q,b)(p≠q,p,q∈N*,且P>2,q>2),都在y = 上,

   即_{, ,   ∴}

               _……①  

       以下考查數(shù)列，的增減情況，，

              _{當n>2時，n2 －3n+1>0 ,所以對于數(shù)列{Cn }有C2>C3>C4>……> Cn >……，}

              _{所以不可能存在p，q使①成立,因而不存在這樣的兩個點.}