長(zhǎng)度為a(a＞0)的線(xiàn)段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸和y軸上滑動(dòng)，點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上，且(λ為常數(shù)且λ＞0)．

(Ⅰ)求點(diǎn)P的軌跡方程C；

(Ⅱ)當(dāng)a＝λ＋1時(shí)，過(guò)點(diǎn)M(1，0)作兩條互相垂直的直線(xiàn)l₁和l₂，l₁和l₂分別與曲線(xiàn)C相交于點(diǎn)N和Q(都異于點(diǎn)M)，試問(wèn)：△MNQ能不能是等腰三角形？若能，這樣的三角形有幾個(gè)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)設(shè)、、，則

　　，　2分

　　由此及得

　　，即；　5分

　　(Ⅱ)當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)的方程為．　6分

　　依題意，直線(xiàn)和均不可能與坐標(biāo)軸平行，故不妨設(shè)直線(xiàn)()，直線(xiàn)，從而有

　　．

　　同理，有．　8分

　　若是等腰三角形，則，由此可得

　　，即或．　10分

　　下面討論方程的根的情形()：

　　①若，則，方程沒(méi)有實(shí)根；

　　②若，則，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根；

　　③若，則，方程有兩個(gè)相異的正實(shí)根，且均不等于(因?yàn)?IMG style="vertical-align:middle" SRC="http://thumb.zyjl.cn/pic7/pages/60A2/1023/0027/0275ca9fd06fb24f335b597b9056e328/C/Image222.gif" width=104 height=22>)．　13分

　　綜上所述，能是等腰三角形：當(dāng)時(shí)，這樣的三角形有且僅有一個(gè)；而當(dāng)時(shí)，這樣的三角形有且僅有三個(gè)．　14分

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（I）在A(yíng)B上求一點(diǎn)D，使沿折線(xiàn)PDAO修建公路的總造價(jià)最小；
（II）對(duì)于（I）中得到的點(diǎn)D，在DA上求一點(diǎn)E，使沿折線(xiàn)PDEO修建公路的總造價(jià)最小．
（III）在A(yíng)B上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)D'，E'，使沿折線(xiàn)PD'E'O修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論、

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（1）求點(diǎn)P的軌跡方程C；

（2）當(dāng)a=λ+1時(shí)，過(guò)點(diǎn)M（1，0）作兩條互相垂直的直線(xiàn)l₁和l₂，l₁和l₂分別與曲線(xiàn)C相交于點(diǎn)N和Q（都異于點(diǎn)M），試問(wèn)△MNQ能不能是等腰三角形？若能，這樣的三角形有幾個(gè)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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