Question

（2012•丹東模擬）已知函數(shù)f（x）=x（x-m）（x-n）．
（I）當n=2時，若函數(shù)f（x）在[1，3]上單調遞減，求實數(shù)m的取值范圍；
（II）若m＞n＞0，m+n=2

2

，且過原點存在兩條互相垂直的直線與曲線f（x）均相切，求m和n的值．

Answer 1

分析：（I）把n=2，代入函數(shù)f（x）并對其進行化簡，利用導數(shù)研究函數(shù)的增減性；
（II）設出切點Q（x₀，y₀），根據(jù)導數(shù)與切線的關系，求出切線的方程，再根據(jù)直線垂直，斜率的關系，求出m和n；

解答：解：（I）當n=2時，f（x）=x（x-m）（x-2）=x³-（m+2）x²+2mx．則f′（x）=3x²-2（m+2）x+2m，
函數(shù)f（x）在[1，3]上單調遞減，則有：

f′(1)=3-2(m+2)+2m≤0 f′(3)=27-6(m+2)+2m≤0

，
解得m≥

15

4

，故實數(shù)m的取值范圍是[

15

4

，+∞）；
（II）設切點Q（x₀，y₀），y0=x03-2

2

x02+mnx0
則切線的斜率k=f′(x0)=3x02-4

2

x0+mn，
所以切線的方程是y-x03+2

2

x02-mnx02=[3x02-4

2

x0+mn](x-x0)，
又切線過原點，則-x03+2

2

x02-mnx02=-3x03+4

2

x02-mnx0，
∴2x03-2

2

x02=0，
解得x₀=0，或x0=

2

．
兩條切線的斜率為k₁=f'（0）=mn，k2=f′(

2

)=mn-2
∵k₁k₂=-1，∴（mn）²-2mn=-1，∴mn=1，
由m＞n＞0，m+n=2

2

得m=

2

+1，m=

2

-1．

點評：考查學生會利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數(shù)研究函數(shù)的單調區(qū)間以及過莫點切線的求法，此題是一道中檔題，考查的知識點比較多；