Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，ABEF是矩形，且二面角C-AB-F是直二面角，AF=1，G是EF的中點．
（1）求證：平面AGC⊥平面BGC；
（2）求GB與平面AGC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得：CB⊥面ABEF，所以有CB⊥AG，CB⊥BG，根據線段的長度關系可得：AB²=AG²+BG²，即可得到AG⊥BG，再利用面面垂直的判斷定理可得面面垂直．
（2）由（1）知，面ACG⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC內作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，所以∠BGH是BG與平面AGC所成的角，即∠CGB為所求角，進而利用解三角形的有關知識求出答案．

解答：解：（1）證明：∵正方形ABCD，
∴CB⊥AB．
∵二面角C-AB-F是直二面角，
∴CB⊥面ABEF．
∵AG，GB?面ABEF，
∴CB⊥AG，CB⊥BG，…（2分）
又∵AD=2a，AF=a，ABEF是矩形，G是EF的中點，
∴AG=BG=

2

a，AB=2a，AB2=AG2+BG2，
∴AG⊥BG．…（4分）
∵CB∩BG=B，
∴AG⊥平面GBC，
又∵AG?面ACG，
∴平面AGC⊥平面BGC．…（6分）
（2）由（1）知，面ACG⊥面BGC，且交于GC，在平面BGC內作BH⊥GC，垂足為H，則BH⊥平面AGC，
所以∠BGH是BG與平面AGC所成的角，即∠CGB為所求角，…（8分）
因為G為EF的中點，并且BE=1，EF=2，
所以BG=

2

．
在Rt△BCG中，BC=2，BG=

2

，所以CG=

6

，
所以sin∠BGC=

BC

CG

=

6

3

．…（12分）

點評：解決此類問題的關鍵是熟練掌握面面垂直的判斷定理與解三角形的有關知識，以及線面角的作法，而求空間角步驟是：作角，證角，求角，而作角是關鍵．