Question

數列{a_n}中a₁=1，前n項的和S_n滿足關系式4tS_n-（3t+4）S_n-1=4t（t＞0，n=2，3，4，…）
（1）求證：數列{a_n}為等比數列；
（2）設數列{a_n}的公比為f（t），作數列{b_n}，使b₁=1，，求和：P=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用a_n=S_n-tS_n-1，求得數列{a_n}的遞推式，整理得（n≥3）進而可推斷出n≥3時，數列成等比數列，然后分別求得a₁和a₂，驗證亦符合，進而可推斷出{a_n}是一個首項為1，公比為 的等比數列．
（2）把f（t）的解析式代入b_n，進而可知，，判斷出{b_n}是一個首項為1，公差為的等差數列．{b_n}是等差數列．進而可推斷出{b_2n-1}和{b_2n}也是等差數列，進而用分組法求得b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1和
解答：解：（1）∵n≥3時，4tS_n-1-（3t+4）S_n-2=4t
∴4tS_n-（3t+4）S_n-1=4t
兩式相減得：4ta_n=（4+3t）a_n-1所以（n≥3）
 又
∴{a_n}為等比數列，且公比為．
（2）∵，
∴數列{b_n}是以b₁=1為首項，以為公差的等差數列，
 通項公式為，

易知{b_2n}也是等差數列∴=（-2）××=．
點評：本題主要考查了等比關系的確定．考查了學生計算，綜合分析問題，解決問題的能力．用到的知識點有數列中a_n與s_n關系的應用，等差數列的判定及前項和計算公式，分組求和法．